线性代数学习笔记(一)---矩阵

矩阵是什么

定义

由 $m\times n$ 个数按一定的次序排成的 $m$ 行 $n$ 列的矩形数表称为 $m\times n$ 的矩阵,简称矩阵

$$\begin{pmatrix}a_{1~1}&a_{1~2}&\cdots&a_{1~n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m~1}&a_{m~2}&\cdots&a_{m~n}\end{pmatrix}$$

横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列。

$a_{i~j}$ 称为矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的元素

表示

矩阵通常用大写字母A,B,C表示,如

$$A=\begin{pmatrix}a_{1~1}&a_{1~2}&\cdots&a_{1~n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m~1}&a_{m~2}&\cdots&a_{m~n}\end{pmatrix}$$

简记为 $A=(a_{i~j})_{m\times n}$

几种特殊的矩阵

1.方阵

当 $m=n$ 时,即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为方阵

$$A_{n\times n}=\begin{pmatrix}a_{1~1}&a_{1~2}&\cdots&a_{1~n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n~1}&a_{n~2}&\cdots&a_{n~n}\end{pmatrix}$$

其中 $a_{1~1},a_{2~2}\cdots,a_{n~n}$ 称为主对角线,即下标相同的元素

$a_{n~1},a_{n-1~2}\cdots,a_{1,n}$ 称为斜对角线,即下标和为 $n+1$ 的元素

2.零矩阵

顾名思义 $O_{m\times n}=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0\end{pmatrix}$

3.对角矩阵

所先得有对角线,所以是方阵

$$\Lambda=\begin{pmatrix}a_{1~1}\\&\ddots\\&&a_{n~n}\end{pmatrix}$$

其余没写出来的元素都为0

4.单位矩阵

即对角线上的元素都是1

$$E_n=\begin{pmatrix}1\\&\ddots\\&&1\end{pmatrix}$$

5.数量矩阵

对角线上的元素都是相同的数 $k$

$$\begin{pmatrix}k\\&\ddots\\&&k\end{pmatrix}$$

6.三角阵

1.上三角阵

$$\begin{pmatrix}a_{1~1}&a_{1~2}&\cdots&a_{1~n}\\&a_{2~2}&\cdots&a_{2~n}\\&\ddots&\vdots\\&&&a_{n~n}\end{pmatrix}$$

2.下三角阵

$$\begin{pmatrix}a_{1~1}\\a_{2~1}&a_{2~2}\\\vdots&\vdots&\ddots\\a_{n~1}&a_{n~2}&\cdots&a_{n~n}\end{pmatrix}$$

7.梯形阵

设 $A=(a_{i~j})_{m\times n}$ 为非零矩阵,若非零行(即至少有一个非零元素的行)全在零行上面, A中各非零行中的第一个(最后一个)非零元素前(后)面零元素的个数随行数增大而增多(减少),则称为上(下)梯形矩阵。简称为上(下)梯形阵

有点绕,仔细品味一下

矩阵的运算

相等

两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数,且对应元素相等

即 $A=(a_{i~j})_{m\times n}=B=(b_{i~j})_{m\times n}$

加,减法

定义$A=(a_{i~j})_{m\times n},B=(b_{i~j})_{m\times n}$

$A+B=(a_{i~j}+b_{i~j})_{m\times n},A-B=(a_{i~j}-b_{i~j})_{m\times n}$

运算规律

$A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+O=A=O+A,A-A=O$

负矩阵 $A=(a_{i~j})_{m\times n}$ 的负矩阵为 $(-a_{i~j})_{m\times n}$,记作 -A,即 $-A=(-a_{i~j})_{m\times n}$

数乘

$$A=\begin{pmatrix}a_{1~1}&a_{1~2}&\cdots&a_{1~n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m~1}&a_{m~2}&\cdots&a_{m~n}\end{pmatrix}$$

与数的乘法,简称为数乘。记作kA

$$kA=\begin{pmatrix}ka_{1~1}&ka_{1~2}&\cdots&ka_{1~n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ka_{m~1}&ka_{m~2}&\cdots&ka_{m~n}\end{pmatrix}$$

运算规律 $k(A+B)=kA+kB,k(lA)=(kl)A,(k+l)A=kA+lA$

矩阵的乘法

给定 $\begin{cases}y_1=a_{1~1}x_1+a_{1 2}x_2+a_{1~3}x_3\\y_2=a_{2~1}x_1+a_{2~2}x_2+a_{2~3}x_3\end{cases}$

$\begin{cases}x_1=b_{1~1}t_1+b_{1~2}t_2\\x_2=b_{2~1}t_1+b_{2~2}t_2\\x_3=b_{3~1}t_1+b_{3~2}t_2\end{cases}$

得出 $\begin{cases}y_1=(a_{1~1}b_{1~1}+a_{1~2}b_{2_1}+a_{1~3}b_{3~1})t_1+(a_{1~1}b_{1~2}+a_{1~2}b_{2_2}+a_{1~3}b_{3_2})t_2\\ y_2=(a_{2~1}b_{2~1}+a_{2~2}b_{2_1}+a_{2~3}b_{3~1})t_1+(a_{2~1}b_{2~2}+a_{2~2}b_{2_2}+a_{2~3}b_{3_2})t_2\end{cases}$

将其中的系数用矩阵表示出来

$\begin{pmatrix}a_{1~1}&a_{1~2}&a_{1~3}\\a_{2~1}&a_{2~2}&a_{2~3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1~1}&b_{1~2}\\b_{2~1}&b_{2~2}\\b_{3~1}&b_{3~2}\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}a_{1~1}b_{1~1}+a_{1~2}b_{2_1}+a_{1~3}b_{3~1}&a_{1~1}b_{1~2}+a_{1~2}b_{2_2}+a_{1~3}b_{3_2}\\ a_{2~1}b_{2~1}+a_{2~2}b_{2_1}+a_{2~3}b_{3~1}&a_{2~1}b_{2~2}+a_{2~2}b_{2_2}+a_{2~3}b_{3_2}\end{pmatrix}$

就是矩阵的乘法,一般的,有

$A=(a_{i~j})_{m\times s},B=(b_{i~j})_{s\times n}$

$C=AB=(c_{i~j})_{m\times n}$

$c_{x~y}=\sum\limits_{i=1}^s\sum\limits_{j=1}^sa_{x~i}b_{j~y}$

注意:矩阵乘法不满足交换律和消去律,存在非零的零因子

运算规律:

$(AB)C=A(BC)\\A(B+C)=AB+AC\\(B+C)A=BA+CA\\k(AB)=(kA)B=A(kB)\\E_mA_{m\times n}=A=A_{m\times n}E_n$

方阵的正整数幂

$A^k=AAA...A,A^0=E,A^{k+l}=A^kA^l$

$(AB)^k\ne A^kB^k$ 成立当且仅当 $AB=BA$

矩阵的转置

$$A=\begin{pmatrix}a_{1~1}&a_{1~2}&\cdots&a_{1~n}\\a_{2~1}&a_{2~2}&\cdots&a_{2~n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m~1}&a_{m~2}&\cdots&a_{m~n}\end{pmatrix}A^T=\begin{pmatrix}a_{1~1}&a_{2~1}&\cdots&a_{n~1}\\a_{1~2}&a_{2~2}&\cdots&a_{n~2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1~m}&a_{2~m}&\cdots&a_{m~n}\end{pmatrix}$$

运算规律:

$(A^T)^T=A\\(A+B)^T=A^T+B^T\\(kA)^T=kA^T$

显然成立

$(AB)^T=B^TA^T$

证明

$A=(a_{i~j})_{m\times s},B=(b_{i~j})_{s\times n}$

$A^T=(a_{j~i})_{s\times m},B^T=(b_{j~i})_{n\times s}$

$B^TA^T=(d_{i~j})_{n\times m},C^T=(AB)^T=(c_{j~i})_{n\times m}$

$c_{j~i}=a_{j~1}b_{1~i}+a_{j~2}b_{2~i}+\cdots +a_{j~s}b_{s~i}\\d_{i~j}=b_{1~i}a_{j~1}+b_{2~i}a_{j~2}+\cdots+b_{s~i}a_{j~s}$

$\Rightarrow c_{j~i}=d_{i~j}\Rightarrow (AB)^T=B^TA^T$

对称阵与反对称阵

对称阵

$A^T=A,a_{i~j}=a_{j~i}$

例:$AA^T,A^TA,A+A^T$

反对称阵

$A^T=-A,a_{i~j}=-a_{i,j}且a_{i~i}=0$

例:$A-A^T$

$A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}$

即任意方阵都可以分解成对称阵与反对称阵的和

矩阵的行列式

定义 $A=(a_{i~j})_{m\times n}$

则A的行列式记作 $|A|$ 或 $det A=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{}$